Question

定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分之间有什么内在的关系？请高手指点迷津

Answer 1

曲线积分分为空间曲线积分和平面曲线积分，它的积分是沿曲线进行的，因为计算时可以将积分曲线的表达式代入被积式。平面曲线积分用格林公式沟通了与二重积分的联系，而二重积分却是在整个积分面进行的，不能将积分表达式代入被积式。曲面积分用斯托克斯公式沟通了与三重积分的联系，前者是在曲面上进行的积分，而后者则是在实体中进行的积分，因此前者可以将积分的曲面方程（表达式）直接代入被积式中计算（当然有时候是需要变形的），后者则不行。它们计算到最后都需要用到定积分。
在高等数学中，定积分，二重积分、三重积分、曲线积分（一类和二类，其中第一类可以用对称性解答）、曲面积分（一类和二类，其中第一类可以用对称性，第二类可以使用轮换对称性），它们互有联系，难度较大，而且对称性广泛使用，只有花精力去深刻理解才能灵活解答，触类旁通。