Question

如图 在等腰梯形abcd中 ad‖bc,对角线AC,BD相交于点O,且AC垂直BD,E,F,G,H分别是AB

BC,CD,DA的中点。（1）求证：四边形EFGH是正方形 （2）若AD=4,BC=8，,求四边形EFGH的面积。

Answer 1

、证明：
∵E是AB的中点、F是BC的中点
∴EF∥AC、EF＝AC/2 （EF是△ABC的中位线）
同理：GH∥AC，GH＝AC/2,EH∥BD，EH＝BD/2,FG∥BD，FG＝BD/2
∵等腰梯形ABCD
∴AC＝BD
∴EF＝FG＝GH＝EH
∵AC⊥BD
∴EF⊥FG
∴正方形EFGH
2、解：过点D作DP∥AC交BC的延长线于点P
∵AD∥BC，DP∥AC
∴平行四边形ACPD
∴PD＝AC，CP＝AD＝4
∴BP＝BC+AP＝8+4＝12
∵AC⊥BD
∴DP⊥BD
∴等腰RT△BDP
∴BD＝BP/√2＝12/√2＝6√2
∴FG＝BD/2＝3√2
∴S正方形EFGH＝FG²＝18

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追问

请问倒数第三步跟2是哪来的？

追答

等腰直角三角形的斜边长是直角边长的√2倍。例如：等腰直角三角形ABC，角A＝90,则BC＝√2AB＝√2AC