Question

lim(x→∏/4)tan(x)的tan(2x)次方如何求解

Answer 1

法一:(tanx)^tan(2x)=(1+tanx-1)^(2tanx/(1-(tanx)^2))(正切的和角公式)
=(1+tanx-1)^(1/(tanx-1)))^(-2tanx/(1+tanx)),x→∏/4时，底数的极限是e，
指数的极限是-1，故又有幂指函数的连续性知，结果为1/e.
法二:(tanx)^tan(2x)=e^(tan(2x)*lntanx),由指数函数的连续性，只需求当
x→∏/4时tan(2x)*lntanx的极限。tan(2x)*lntanx=lntanx/cot(2x),此时，这是一个0/0型未定式，故可用罗比达法则求解。分子分母同时求导得，
((secx)^2/tanx)/(-2csc(2x))^2=(secx*cscx)/(-2csc(2x))^2
=(2csc(2x))/(-2csc(2x))^2=-1/csc(2x),当x→∏/4时，此式极限为-1，从而
lim(x→∏/4)tan(x)的tan(2x)次方=1/e.