Question

三角函数的和角公式怎么证明啊?

如: cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

Answer 1

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB证明
如图
我们先来证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
在标准圆中.AB为直径.长度为1
由圆的性质可知角ADB和角ACB为90度.另做一条垂直线CE于AD上.
令角A为角BAC
角B为角DAC
则角(A-B)为角BAD
证明如下:
cos(A-B)=AD/AB=AD
①cosA=AC/AB=AC
②sinA=BC/AB=BC
③cosB=AE/AC
④sinB=CE/AC
联立①③可知
cosB=AE/cosA
即cosAcosB=AE.
所以要证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB即要证明AD=AE+sinAsinB
又AD=AE+ED
即只要证明sinAsinB=ED即可
即要证明BC*CE/AC=ED
即要证明CE/AC=ED/BC
注意到三角形CEF相似于三角形BDF(三个角相同),则可知道ED/BC=EF/CF(相似三角形定理)
所以要证明命题.只需要证明CE/AC=EF/CF
注意到角ECF+角ECA=90度并且角ECA+角CAE=90度可知角ECF=角EAC.又角CEF=角AEC=90度.可推出三角形AEC相似于三角形CEF
即可以证明CE/AC=EF/CF
即证明了cos(A-B)=cosAcosB+sinA+sinB
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由sinθ=cos(-θ)?
得:sin(α+β)=cos[-(α+β)]
=cos[(-α)-β]?
=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ?
又∵cos(-α)=sinα?
sin(-α)=cosα?
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

Answer 2

如图
∵AB⊥CD
∴∠ADC=∠BDC=90°
∵∠ACD=α∠BCD=β AC=1
∴AD=sinα·AC=sinα
CD=cosα·AC=cosα
BD=tanβ·CD=sinβ·cosα/cosβ
BC=CD/cosβ=cosα/cosβ

S△ABC=1/2·AB·CD=1/2·AC·BE
∴BE=AB·CD/AC
=CD·(AD+BD)
=cosα(sinα+sinβ·cosα/cosβ)
sin(α+β)=BE/BC
=(cosα(sinα+sinβ·cosα/cosβ))/(cosα/cosβ)
=(sinα+sinβ·cosα/cosβ)·cosβ
=sinα·cosβ+sinβ·cosα