Question

已知函数f(x)=ax3-3/2x2+1,(x∈R，a＞0)

1）若a=1,求曲线y=f(x）在点（2，f(2)）处的切线方程； （2）若在区间〔-1/2,1/2〕上，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

a=1时，y的导数=3x^2-3x，x=2时导数值为6=k，函数值为3，所以切线方程为y=6x-9。
y的导数=3ax^2-3x=0-->x=0,x=1/a(a<>0)。
容易检验，a=0时函数满足条件。（略）
a<>0时，x=1，x=1/a是两个极值点。
a<0时，f(-1/2)=-a/8+5/8>0，且x>0时函数是减函数，f(1/2)=a/8+5/8>0-->a>-5，所以-5<a<0。
a>0时相仿，0<a<5。
综合的，-5<a<5。