Question

已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足a2+a4=14,S7=70 。设bn=（2Sn+48）/n,数列bn的最小项是多少，并求出

已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足a2+a4=14,S7=70 。设bn=（2Sn+48）/n,数列bn的最小项是多少，并求出该项的值。

Answer 1

a(n)=a+(n-1)d,
s(n)=na+n(n-1)d/2.

14=a(2)+a(4)=a+d+a+3d=2a+4d, a+2d = 7.

70 = s(7) = 7a + 21d, a+3d = 10. 10-7 = (a+3d)-(a+2d) = d = 3. a = 7-2d=1.
a(n)=1+3(n-1)=3n-2.
s(n)= n + 3n(n-1)/2,
b(n) = [2s(n)+48]/n = [2n+3n(n-1)+48]/n = 2 + 3(n-1) + 48/n = 3n + 48/n - 1
= 3(n + 16/n) - 1
>= 3*2(n*16/n)^(1/2) - 1
= 3*2*4 - 1
= 23
当且仅当 n = 16/n, n^2 = 16. n=4时不等式n+16/n>=2(n*16/n)^(1/2)中的等号成立。
因此，b(n)>=b(4)=23.
b(n)的最小项为b(4)=23.