Question

已知f(x)是定义R上的函数，且满足f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=2,求f(2013)的值

Answer 1

显然1-f(x)≠0
所以 f(x+2) = [1+f(x)]/[1-f(x)]
另有 f(x) = [1+f(x-2)]/[1-f(x-2)]
将下式代入上式，解得f(x+2) = -1/f(x-2)
而f(x+6) = -1/f(x+2)
得到f(x+6)=f(x-2)，以8为周期
f(2013)=f(8*251+5)=f（3）
由 f(x+2) = [1+f(x)]/[1-f(x)]得：
f（3）=f（1+2）=[1+f(1)]/[1-f(1)]=（1+2）/（1-2）=-3

追问

"f(2013)=f(8*251+5)=f（3）"为什么不是等于f(5)呢？

追答

哦，是我写太快了，应该是先求出f（3），再代入求f（5）的
由 f(x+2) = [1+f(x)]/[1-f(x)]得：
f（5）=（1+f（3））/（1-f（3））
f（5）=（1-3）/(1+3)
f（5）=-1/2

追问

谢谢！如何证明“1-f(x)≠0”呢？

追答

因为f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x)，若1-f(x)=0，则1+f(x）=0，f（x）有两个不同的值，矛盾。故1-f（x）=0不成立，即1-f(x)≠0

明白了吗？

Answer 2

解：显然1-f(x)≠0
f(x+2) = [1+f(x)]/[1-f(x)]……（1）
f(x) = [1+f(x-2)]/[1-f(x-2)]……（2）
将（2）的f（x）代入（1）：
解得f(x+2) = -1/f(x-2)
f(x+6) = -1/f(x+2)
所以f(x+6)=f(x-2)，以8为周期
f(2013)=f(8*251+5)=f（3）
由 f(x+2) = [1+f(x)]/[1-f(x)]得：
f（3）
=f（1+2）
=[1+f(1)]/[1-f(1)]
=（1+2）/（1-2）
=-3
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追问

"f(2013)=f(8*251+5)=f（3）"为什么不是等于f(5)呢？

Answer 3

先写出几项，写到第8项得出规律，四个一循环，显然得答案为1/2。
也可以用数学归纳法。