Question

如图,在△ABC中,已知P为BC边垂直平分线上一点,且∠PBG=2分之1∠A

.如图，已知P为△ABC中BC边垂直平分线上一点，且∠PBG=2分之一∠A，BP、CP分别交AC.AB于点D.E。求证：BE=CD。
能不能不做辅助线？！！急急急

Answer 1

1。你没有画出图来，可题目中“如图”，怎么办？2。G点又是什么点？你没有说清楚。应该是∠PBC吧！假如：题目中∠PBG应该是∠PBC。
证：∵P为BC边垂直平分线上一点，∴△PBC为等腰三角形，则∠PBC=∠PCB=1/2∠A且BP=CP。因此，△BCE中可算出：∠BEC=180°-∠PCB-∠ABC=180°-1/2∠A-∠ABC
△BCD中可算出：∠BDC=180°-∠PBC-∠ACB=180°-1/2∠A-∠ACB；
由于∠BEC+∠BDC=360°-（∠A+∠ABC+∠ACB）=360°-180°=180°，可断定∠BEC和∠BDC互补，则sin∠BEC=sin∠BDC
在△BPE和△CPD中，分别应用正弦定理：BE/sin∠BPE=BP/sin∠BEC...(1)
CD/sin∠CPD=CP/sin∠BDC...(2)
上述二式中，∠BPE=∠CPD（自然有sin∠BPE=sin∠CPD），BP=CP，sin∠BEC=sin∠BDC，由(1)/(2)可推出BE=CD。