Question

求解一个偏微分方程

Answer 1

这是一个典型的热传导类型的偏微分方程，且只有一个空间变量
设解的形式为 C(t,x)=X(x)*T(t)
则有 əC/ət=X(x)*T'(t)
əC/əx=X'(x)*T(t), ə(əC/əx)/əx=X''(x)*T(t)
带入原方程，将常数D提出来，可得
X(x)*T'(t)=D*X''(x)*T(t)，分离变量可得
T'(t)/[D*T(t)]=X''(x)/X(x)=-λ<0 (可以证明-λ≥0的解不存在)
∴可得 T'(t)=-λD*T(t) (1)
X''(x)=-λ*X(t) (2)
分别积分，可得
T(t)=A*e^(-λD*t) (3)
X(x)=Bsin(√λ*x)+Ccos(√λ*x) (4)
∴C(t,x)=X(x)*T(t)=A*e^(-λD*t)*[Bsin(√λ*x)+Ccos(√λ*x)]
əC/əx=X'(x)*T(t)=A*e^(-λD*t)*√λ*[Bcos(√λ*x)-Csin(√λ*x)]
带入初始条件，可得
əC/əx|(t,0)=A*e^(-λD*t)*√λ*[Bcos(√λ*0)-Csin(√λ*0)]=0 (5)
C(t,L)=A*e^(-λD*t)*[Bsin(√λ*L)+Ccos(√λ*L)]=0 (6)
联立(5)(6)，可解得
B=0，√λ=(n+1/2)π/L
经线性叠加，可得通解公式为
C(t,x)=∑(1,+∞) Kn*cos[(n+1/2)πx/L]*e^[-(n+1/2)²π²/L²*Dt]
其中，Kn=2/L*∫<0,L> Cin*cos[(n+1/2)πx/L]*dx

PS：具体请参考下面的资料，其实具体的最后几步我也没完全搞懂
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%86%B1%E5%82%B3%E5%B0%8E%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

Answer 2

这是典型的抛物型偏微分方程。我只会数值解。解析解我不会求。数值解的话，可以找我

Answer 3

科普中国·科学百科：偏微分方程