Question

绝热方程物理意义是什么?

Answer 1

量子绝热定理中“绝热”一词，指的是系统参量的变化足够缓慢。

量子绝热定理的内容是：体系的哈密顿量初值[公式]逐渐演化到末值[公式]。若体系一开始处在[公式]的第n本征态，则之后它也将演化到[公式]的第n本征态。

从内容上看，量子绝热定理还是比较容易直观理解的。下面进行比较严格的证明。这个证明也是比较重要的，因为它将引出动力学相因子以及绝热相因子，而且对之后学习Berry phase几何相以及A-B效应提供了前提。

Proof:

含时哈密顿量的本征方程为 [公式]

此时能量并非守恒量，体系可发生量子跃迁。

体系波函数可以表示为全体本征态的相干叠加，其形式为

[公式] （1）

写成这个形式是恰当的， 理由如下：

当哈密顿量不含t时，体系初态可表为本征态的叠加

[公式]
可以验证， 含时的态函数[公式]满足

含时薛定谔方程[公式]

推广到哈密顿量含时的情形，即为式（1）。

下面我们将式（1）代入含时薛定谔方程，求出态函数随时间的演化。

绝热近似下，[公式]很小，可得

[公式]
解得

[公式]
特别地，若体系初态处于第n本征态，则有

[公式]
因此

[公式]
因此态函数随时间的演化

[公式]
其中动力学相因子[公式]

绝热相因子[公式]

Answer 2

绝热方程是利用热力学第一定律和理想气体状态方程在准静态条件下导出的，绝热方程的应用必须满足理想气体条件和准静态条件。
绝热过程是在不与外界作热量交换的条件下,系统的状态变化过程。它的特征是dQ= 0。要实现绝热平衡过程,系统的外壁必须是完全绝热的,过程也应该进行得无限缓慢。但在自然界中,完全绝热的器壁是找不到的,理想的绝热过程并不存在,实际的绝热过程都是近似的。绝热的平衡过程进行中功和能的转换可根据热力学第一定律(dQ= dE+ pdV)和绝热过程的特征方程(dQ= 0)得到。即dE+ pdV= 0,从式中看出,在绝热过程中只有系统内能变化时才能作功。[1]
若有m千克,M摩尔的理想气体,当温度升高dT时,内能增量为　dE=(m/M)CvdT
于是　dA= pdV= - dE= -(m/M)CVdT
因为(m/M)CV是衡量,当气体由初态T1变为末态T2绝热过程中,气体作功的绝热方程为
A= -(m/M)CV(T2- T1)
由式中看出,当气体绝热膨胀而对外作功时,气体的内能就要减少,温度必降低,而压力也跟着减少。因此在绝热过程中,气体的P、T、V三个参量均同时改变。
根据热力学第一定律及绝热过程的特征(dQ= 0),可以证明,在绝热的平衡过程中,对于P、V、T三个参量之间,每两个参量间的互相关系式为
PVγ=恒量　Vγ- 1T=恒量　Pγ- 1T-γ=恒量
这三个方程称为绝热过程方程,式中γ= CP/CV为比热容比。