Question

，点M是矩形ABCD的边AAD的中点，P是BC边上一动点（四边形PEMF样子是矩形），PE垂直MC于点E，PF垂直BM于点F

1，当矩形ABCD的长与宽满足什么条件是，四边形PEMF为矩形？请才向你的结论并说明理由，
2，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？

Answer 1

图形请楼主自己画吧，我这里只说文字部分了。

1.有3个直角的四边形就是矩形。已知角PFM和角PEM均为直角，则只要角FME为直角即可。角AMD等于角AMB+角DMC+角FEM，且其为平角180度。又根据等边对等角，在相似三角形AMB和DMC中（相似自己证明吧），因为AB边=DC边，故角AMB=角DMC。又要求角FME为直角90度，故角AMB=角DMC=45度。因为有一个锐角为45度的直角三角形为等边直角三角形，故要求边AB=边AM，同理，边DC=边DM。故边AD=AM+DM=AB+DC。即要求矩形ABCD的边AD为边AB的2倍。

2.有一对邻边相等的矩形是正方形。在矩形PEMF中，只要边PF=PE，即可使其成为正方形。此时点P一定在边BC的中点上。根据1的结论，角ABM和DCM都是45度，又角B角C都是90度，所以角PBF与PCE都是45度。在相似三角形PBF和PCE中（相似自己证明吧），等角对等边，故边PF=PE。

Answer 2

解:(1)∵要令四边形PEMF为矩形
又∵∠PFM=∠PEM=Rt∠
∴只要令∠FME=Rt∠
∵M为AD的中点
∴当长:宽=2:1时,∠FME=Rt∠,即四边形PEMF为矩形

(2)∵要令矩形PEMF变为正方形
∴只要令MF=ME
假设P为BC中点
连结MP
∵MP=MP
∠PFM=∠PEM
∠FMP=∠EMP
∴△FMP≌△EMP
∴FP=EP
∴假设成立
∴当点P运动到BC中点时,矩形PEMF变为正方形