Question

高中物理题：小球从光滑固定的四分之一圆弧静止释放，求滑至底端所需时间

圆弧半径为R，重力加速度g

Answer 1

用积分的方法是：

设小球运动过程到与水平轴成角度为x的位置，沿速度方向的力为重力的分量：mgcos(x),该力提供切向加速度：
mgcos(x)=m(dv/dt),
由机械能守恒，这时的动能mv^2/2应该等于重力势能的变化mgRsin(x),
所以我们有sin(x)=v^2/(2gR),即cos(x)=sqrt[1-sin(x)^2]=sqrt[1-v^4/(4g^2R^2)]

将cos(x)代入mgcos(x)=m(dv/dt)我们得到微分方程：

g*sqrt[1-v^4/(4g^2R^2)]=dv/dt,
或者写成dv/[g*sqrt[1-v^4/(4g^2R^2)]]=dt

两边积分，v从初速度零积到末速度sqrt(2gR),得
T=1/[g*sqrt[1-v^4/(4g^2R^2)]]关于v的积分，
设y=v^2/(2gR), dv=sqrt(gR/2)*dy/sqrt(y), 所以

T=sqrt[R/(2g)]*函数1/[sqrt(y)*sqrt(1-y^2)]关于y从0到1的积分
T=sqrt[R/(2g)]*(1/2)*Beta(1/4, 1/2)=1.854*sqrt(R/g)
比单摆的结果小（其中Beta(x, y)为beta函数）。

Answer 2

由单摆周期公式 T=2π(R/g)^1/2
小球从光滑固定的四分之一圆弧静止释放，求滑至底端所需时间t
简化为单摆
t=T/4=π(R/g)^1/2/2

追问

只适用于小角度摆动，sinα≈α

追答

高中阶段定性讨论这种方法对，如果是大学知识用积分

追问

那可以说一下用积分怎么做吗

追答

对不起，高中生不会

Answer 3

小球没有线牵引的吧？
只有重力做功
R=1/2gt^2
t=根号2R/g

Answer 4

单摆的是错的，单摆的条件是角度要小，因用
重力做

Answer 5

你好，没图啊~很难讲