Question

已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和.(1)若S4，S10，S7成等差数...

已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和. (1)若S4，S10，S7成等差数列，证明a1，a7，a4也成等差数列; (2)设S3=32，S6=2116，bn=λan-n2，若数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围.

Answer 1

解答:解:(1)证明:设数列{an}的公比为q，
因为S4，S10，S7成等差数列，所以q≠1，且2S10=S4+S7.
所以
2a1(1-q10)
1-q
=
a1(1-q4)
1-q
+
a1(1-q7)
1-q
，
因为1-q≠0，所以1+q3=2q6.
所以a1+a1q3=2a1q6，即a1+a4=2a7.
所以a1，a7，a4也成等差数列.
(2)因为S3=
3
2
，S6=
21
16
，
所以
a1(1-q3)
1-q
=
3
2
，①
a1(1-q6)
1-q
=
21
16
，②
由②÷①，得1+q3=
7
8
，所以q=-
1
2
，代入①，得a1=2.
所以an=2•(-
1
2
)n-1，
又因为bn=λan-n2，所以bn=2λ(-
1
2
)n-1-n2，
由题意可知对任意n∈N*，数列{bn}单调递减，
所以bn+1＜bn，即2λ(-
1
2
)n-(n+1)2＜2λ(-
1
2
)n-1-n2，
即6λ(-
1
2
)n＜2n+1对任意n∈N*恒成立，
当n是奇数时，λ＞-
(2n+1)2n
6
，当n=1时，-
(2n+1)2n
6
取得最大值-1，
所以λ＞-1;
当n是偶数时，λ＜
(2n+1)2n
6
，当n=2时，
(2n+1)2n
6
取得最小值
10
3
，
所以λ＜
10
3
.
综上可知，-1＜λ＜
10
3
，即实数λ的取值范围是(-1，
10
3
).