Question

1+（1/2）²+(1/3)²+(1/4)²+......+(1/200)，谁能解出来，谢谢各位数学高手了

Answer 1

这个是个二阶调和级数，没有公式，只能证明n趋向于无穷大时，这个实在趋向于π²/6
，证明如下。
将sinx按泰勒级数展开：
sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋
…
于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋
…
令y＝x^2，有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋
…
而方程sinx＝0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y＝0的根为π²,(2π)²,…
即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理，常数项为1时，根的倒数和＝一次项系数的相反数
即1/π²＋1/(2π)²＋…＝1/3!
故1＋1/2²＋1/3²＋
…
＝π²/6
1/2²＋1/3²＋
…=π²/6-1
另外n为有限时可以求个大概范围
因为1+1/2²+1/3²+1/4²+...+1/n²
<1+1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+...+1/[(n-1)n]
而1+1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+...+1/[(n-1)n]
=1+1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n
=2-1/n
=2-1/200