Question

在梯形ABCD中，AD平行BC，角B+角C=90度。E是AD中点，F是BC的中点。求证；EF=2分之1（BC—AD）。

Answer 1

作EG∥AB,交BC于G;作EH∥DC,交BC于H.
∵AD∥BC,
∴四边形ABGE和EDCH是平行四边形.
∵AE=ED,
∴BG=AE=ED=CH,
∵BF=FC,
∴GF=FH,
∵∠B+∠C=90°,∠B=∠EGH,∠C=∠EHG,
∴∠EGH+∠EHG=90°,
∴∠GEH=90°,
∴EF=1/2×GH= 1/2×(BC－2BG)=1/2×(BC－AD).

Answer 2

解：过点M分别作ME∥AB，MF∥DC分别交BC于点E、F ∵AD平行BC即AM平行BE，ME∥AB(已知） ∴四边形ABEM是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 有∵根据同理，可证四边形MFCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ∴可得AM=BE，MD=CF（平行四边形对边相等） 又根据AB平行ME，CD平行MF（已知 且∠B+∠C=90°（已知） 所以∠MEN=∠B,∠MFN=∠C（两直线平行，同位角相等） ∴∠MEN+∠MFN=∠B+∠C=90°（等量代换） ∴在△EFM中，∠EMF=90°（三角形内角和为180°） 即三角形EFM为直角三角形 又∵点M为AD的中点（已知） ∴AM=MD（中点定义） 又∵AM=BE，MD=CF（已证） ∴AM=BE=MD=CF（等量代换） 又∵点N为BC的中点（已知） ∴BN=CN（中点定义） ∴BN-BE=CN-CF（等式性质） 即EN=FN，点N为EF的中点（中点定义） 又因为∠EMF=90°（已证） ∴MN=�0�5EF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 又∵EF=BC-(BE+CF) 且AM=BE=MD=CF （已证） 所以EF=BC-（AM+MD)(等量代换） 即EF=BC-AD 且MN=�0�5EF（已证） ∴MN=�0�5（BC-AD）(等量代换）