Question

求一个齐次线性方程组使它的基础解系为

求基础解系
求一个齐次线性方程,使它的基础解系为a1＝（0,1,2,3）^T ; a2＝(3,2,1,0)^T.

Answer 1

设齐次线性方程组AX=0的基础解系为a1=(0,1,2,3)^T,a2=(3,2,1,0)^T
即a1=(0,1,2,3)^T,a2=(3,2,1,0)^T是齐次线性方程组AX=0的两个特解
设A=(A1 A2)^T,其中A1,A2为4维列向量,A为2*4阶矩阵
则(A1 A2)^T * (a1 a2) = 0
等式两边同时转置得
(a1 a2)^T * (A1 A2) = 0
问题转化为求解新齐次线性方程组的基础解系
增广矩阵为
0 1 2 3 0
3 2 1 0 0
初等行变换
1 0 -1 -2 0
0 1 2 3 0
所以新齐次线性方程组的基础解系为A1=(1,-2,1,0)^T,A2=(2,-3,0,1)^T
所以所求的齐次线性方程组AX=0为
x1-2x2+x3=0
2x1-3x2+x4=0
原理:
ξ是齐次线性方程组的解 的充要条件是 ξ与系数矩阵的行向量正交
所以只要寻找与a1,a2都正交的向量A1,A2,即可构成所求齐次线性方程组的系数矩阵