Question

已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/(x＞0)(1)讨论函数f(x)的单调性（2）当X大于等于1时，f(x)小于等于lnx

已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/(x＞0)
(1)讨论函数f(x)的单调性
（2）当X大于等于1时，f(x)小于等于lnx/(x+1)恒成立，求a的取值范围

Answer 1

(2)解
要x>=1时 f(x)<=lnx/(x+1)恒成立 则只需要 x>=1时 f(x)小于等于lnx/(x+1)的最小值即可
为求的lnx/(x+1)的最小值，对lnx/(x+1)求导
得到 [lnx/(x+1)]`=[1+(1/x)-lnx]/[(1+x)^2]
分母(1+x)^2恒大于0 研究分子
1+(1/x)-lnx 在x属于1到正无穷的区间里，很明显1+(1/x)-lnx是先大于0后小于0
表明函数lnx/(x+1)在1到正无穷区间里先增后减。
则lnx/(x+1)的最小值应该在区间端点取得。
可以分别求出当x=1时 lnx/(x+1)=0
lim(x趋于正无穷) lnx/(x+1)=0 （这个结论可以用夹挤定理得到，过程并不难）
所以可以知道在1到正无穷 函数lnx/(x+1)的最小值为0
所以f(x)=lnx-a(x-1)<=0 (x>=0)
当a<=0的时候 f(x)>=0 与题意不符 所以a必须大于0
此时有题目1中可以得到在a大于0的时候，f(x)在x=1/a处取得最大值，
带入x=1/a
得到f(a/1)=ln(1/a)-1+a<=0
上面这个如果做方程来解，属于超越方程，得不到标准解，所以只能用上面这样的表达式直接表达，哎我也是做到最后一步才发现，看来白忙活了半天。。。。
估计我那样的做法行不通（最后得到了个超越方程）
这样做得到的结论就是
a的取值满足{a | ln(1/a)-1+a<=0 且 a>0 }