Question

平面几何高手来

凸四边形ABCD中，S△ABD+S△ABC=S△BCD，M,N,分别在AC,CD上，AM:AC=CN:CD,且B,M,N共线，求证M,N分别为AC,CD中点，顺便告诉告诉我怎么学好竞赛几何行么、

Answer 1

参见《构造法解题》第一章例11

Answer 2

证明：因为AM：AC=CN：CD
因为角MCN=角ACD
所以三角形MCN和三角形ACD相似
所以角CMN=角CAD
所以MN平行AD
因为点B. M .N共线
所以BN平行AD
所以AM/CM=DN/CN
S三角形ABM=S三角形DBM
S三角形AMN=S三角形DMN
S三角形ABD=S三角形ADN
因为S三角形ABD+S三角形ABC=S三角形BCD
S三角形ABC=S三角形ABM+S三角形BCM
S三角形BCD=S三角形DBM+S三角形BCM+S三角形DMN+S三角形CMN
所以S三角形ADN=S三角形AMN+S三角形CMN
因为S三角形AMN+S三角形CMN=S三角形ACN
所以S三角形ADN=S三角形ACN
因为S三角形ADN：S三角形ACN=DN：CN
所以DN=CN
所以点N是CD的中点
AM=CM
所以点M是AC的中点
综上所述：M .N分别是AC ,CD的中点