Question

4.当x∈(0,2π),比较sinx,x,tanx的大小

4.当x∈(0,2π),比较sinx,x,tanx的大小

Answer 1

x∈(0,π/2)时(第一象限),
设直角坐标系中原点为O
设单位圆与横轴正向交于A
角x的终边与单位圆交于P,与过A点且垂直于横轴的直线交于Q,
过P作横轴的垂线,垂足B.
△POA的面积<扇形OAP的面积<△OAQ的面积
即(1/2)PB<(1/2)AP弧的弧度<(1/2)AQ
PB<AP弧的弧度<AQ
∴sinx<x<tanx
x∈(π/2,π)时(第二象限),
tanx<0,0<sinx<1,x>π/2>1
∴tanx<sinx<x
x∈(π,3π/2)时(第三象限),
sinx<0,最小,
存在唯一实数a,
[a在区间(4.4,4.5)内]，tanx=x
x∈(π,a]时,tanx≤x,
∴sinx<tanx≤x
x∈(a,3π/2)时,
x<tanx,
∴sinx<x<tanx
x∈(3π/2,2π)时(第四象限),
x>0,tanx<0,sinx<0
2π-x为第一象限角,由前可知sin(2π-x)<tan(2π-x)
-sinx<-tanx,tanx<sinx,
∴tanx<sinx<x
x=±π/2时,tanx不存在,不可比较
x=π时,sinx=tanx=0<x