Question

一道概率论的题目，急求答案

Answer 1

X、Y独立的意思是说，对于任何集合A、B，都有
P(X属于A且Y属于B) = P(X属于A) × P(Y属于B)，
这样
P(g(X)属于A 且 g(Y)属于B)
=P(X属于g^(-1) (A) 且 Y属于g^(-1) (B) )
=P(X属于g^(-1) (A)) P (Y属于g^(-1) (B)) //因为X、Y独立

=P(g(X)属于A) P(g(Y)属于B)，
从而g(X)和g(Y)独立。
其中g^(-1) (A) 是A在g下的原像集，即{x： g(x)属于A}。

反之不成立，去两个不独立的随机变量X和Y，直接令g(x)=0，那么0变量和自己独立（如果随机变量X以概率1取一个常值，那么直接按定义，它和任何随机变量独立）。当然，如果要把这个命题反过来说，可以说，如果X、Y独立的话那么，
(*)对任何（可测）函数g和h，g(X)和h(Y)都独立；
并且(*)可以推出X和Y独立。

Answer 2

不独立，sin值相等的时候除90°都有2个值