Question

已知数列{an}中,a1=1,前n项和为sn，且3sn=(n+2)an,求：

①数列的通项公式
②{1/an}的前n项和Tn

Answer 1

上面的结果Tn是不正确的

（1）∵3S[n]=(n+2)a[n]:
∴3S[n-1]=(n+1)a[n-1]
将上面两式相减，得：
3a[n]=(n+2)a[n]-(n+1)a[n-1]
(n-1)a[n]=(n+1)a[n-1]
即：a[n]/a[n-1]=(n+1)/(n-1) 【这里保留分子】
∴a[n-1]/a[n-2]=n/(n-2) 【这里保留分子】
a[n-2]/a[n-3]=(n-1)/(n-3)
a[n-3]/a[n-4]=(n-2)/(n-4)
......
a[5]/a[4]=6/4
a[4]/a[3]=5/3
a[3]/a[2]=4/2 【这里保留分母】
a[2]/a[1]=3/1 【这里保留分母】
将上述各项左右各自累乘，得：
a[n]/a[1]=[n(n+1)]/(1*2)
∵a[1]=1
∴通项a[n]=n(n+1)/2
（2）
1/an=2/n(n+2)=1/n-1/(n+2)
裂项求和
Tn=1/a1+1/a2+1/a3+......+1/a[n-1]+1/a[n]
=1/1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6+.......1/(n-2)-1/n+1/(n-1)-1/(n+1)+1/n-1/(n+2)
=1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)
=3/2-（2n+3)/[(n+1)(n+2)]
验证1/a1=T1=2/3,满足
很高兴为您解答，祝你学习进步！
有不明白的可以追问！如果您认可我的回答，请选为满意答案，并点击好评，谢谢！

Answer 2

(1)
由3sn=(n+2)an
得 3s(n-1)=(n+1)a(n-1)
两式相减 得
3an=(n+2)an-（n+1)a(n-1)
(n-1)an=(n+1)a(n-1)
an/a(n-1)=n+1/(n-1)
依此类推
a(n-1)/a(n-2)=n/(n-2)
a(n-2)/a(n-3)=(n-1)/(n-3)
..................................
a2/a1=3/1
相乘得
an=n(n+1)/2
(2)
1/an=2/[n(n+1)]
故 Tn=1/a1+1/a2+1/a3+..............+1/an
=2[1/1*2+1/2*3+.............+1/n*(n+1）]
=2[1-1/2+1/2-1/3+............+1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]
=2n/(n+1)