Question

数学高手进！！！

1、如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，点P在射线AD上运动，过P做PF⊥AE于F，设PA=x，是否存在实数x，使以P,F,E为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由。注：之前已求出△PFA∽△ABE，有两个解。

2、如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A（2，2），交y轴于C点，双曲线y=4/x也经过A点。（题目做过改动）
（1）若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形。若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。
（2）若点P为x负半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点N，使得△PAN是以点A为直角顶点的等腰直角三角形。若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由。

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Answer 1

做第1题吧，要点是理解使以P,F,E为顶点的三角形与△ABE相似？言外之意是，哪个点对应哪个点不一样。

你想啊，正方形的边长为什么等于2呢？启示我们可以在x=1处做文章。画图一看，正好相似，有：△EFP∽△ABE.

因为角B和角F已经确定是90度，另一种情况应该是角 P等于角A。 这种情况有F是AE的中点（画个图能看出来）。 有sqrt(5)/2:x=1:sqrt(5)，得出x=2.5

Answer 2

第一题：（1）∵有正方形ABCD，且E点为BC中点
∴BC=1
∴在Rt△ABC中
AE²=AB²+BC ²
∴AE=√5
作PF⊥AE
∴∠PAF=90°
∵ △ABE∽△PFE
∴∠EPF=∠BAE
∵∠BAE+∠PAF=∠BAD=90°
且∠FPA+∠PAF=90°
∴∠FPA=∠BAE=∠EPF
∵PF⊥AE
∴有等腰△APE
∴AF=EF1/2AE=√5/2
∵△PFA∽△ABE
∴PA：AE=AF：BE
即x：√5=√5/2：1
∴x=5/2
（2）作PF⊥AE
∵△ABE∽△PFE
∴∠PEA=∠EAB
∴PE//AB
∴有矩形ABEP
∴AP=BE=1
∴x=1