Question

如图所示,AB为光滑的水平面,BC是倾角为α的足够长的光滑斜面(斜面体固定不动).AB,BC间用一小段光滑圆弧轨

如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面(斜面体固定不动)。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止地放在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a，现自由释放链条，则：(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？
主要是补充的。第一问直接无视。 最好又两种思想，不是指用什么动能定理或者能力守恒这种基本没差的表达式。 就是分析过程，多种思想讨论，重心怎么变化的可以说一下。还有为什么可以看成L-a移动到下面的重力做的功就是重力对整条链做的功。详细分析啊。。

Answer 1

（1）机械能守恒，因为链条与斜面间无摩擦，无机械能损失

（2）设链条质量为m，则L-a段质量为m1=(L-a)/L*m，a段质量为m2=a/L*m

以AB水平面为0势能面，则起始时，L-a段重心在0处，a段重心在-a/2*sinα处，

∴链条的总势能为 Ep=m1g*0+m2g(-a/2*sinα)=mg*a/L*(-a/2*sinα)

开始时静止，则动能为0，即 Ek=0

当链条的D端滑到B点时，整个链条重心在-L/2*sinα处

链条总势能为 Ep'=mg(-L/2*sinα)

设此时链条速度为v，则其动能为 Ek'=1/2*mv^2

由机械能守恒，可得 Ep+Ek=Ep'+Ek'

即有 mg*a/L*(-a/2*sinα)+0=mg(-L/2*sinα)+1/2*mv^2

可解得 v=√{[gsinα(L^2-a^2)]/L}

追问

只寻找一个重心能够找到吗？这种图形的重心怎么找有方法么？（不分成两段的）。 还有另外一种方法，就是:图象a处依然看做为a，然后L-a看成移动到了a的下面，然后a等于没动，做功的就只有 L-a段，然后那些m1gh＝1/2mV²也可以，但是想问为什么可以这么去想这个问题。。理解我的叙述了么？ 最后表达式就是:m1g（L+a）/2×sina=1/2mV². m1=（L-a）/L×m

追答

你这两个思路也相当好

①整体重心可以找到，L-a的重心在G1，a段的重心在G2

整体重心在G1与G2连线的中点G处，不过这个计算比较麻烦

②用等效原理，将a段看作不动，只有L-a段移动做功

L-a段移动后重心距B点的距离为(L+a)/2，

则其重心下降的高度为(L+a)/2*sinα

最后整条链条获得速度v，其质量为m

但做功只有L-a段，其质量为(L-a)/L*m

由机械能守恒，有 0+0=1/2*mv^2-(L-a)/L*mg*(L+a)/2*sinα

可解得 v=√{[gsinα(L^2-a^2)]/L}

可得相同结果

追问

②中的等效原理能详细分析一下么。因为比较纠结本来L-a部分是移动到a部分上面的，然后a部分要下移。但是都有a，就直接看成L-a移动到a部分下面去了，为什么可以这么去说，或者是假设，或者就是事实。-，-我都混乱了。

追答

等效原理是将L-a“看作”直接移动到a的尾端
这样处理所得的结果与实际严格分析所得结果相同
但并不是L-a真的直接移动到a的尾端
实际上还是a的尾端向下移动，而L-a补充到a的上端
就跟多个单摆排在一起的情况类似
第一个球撞下去之后，中间的球都不动，只有最后一个球飞起来
这可以“看作”第一个球的能量直接传给最后一个球
但实际上还是通过中间的几个球传递过去的
两种做法最后的效果是等同的，故称等效原理

追问

实际严格分析怎么分析，大概。。

追答

就是按照链条实际的移动情况来分析啊
比如L-a传了多少能量、速度给a，a又传了多少给末端
如此等等，一般是很麻烦的

Answer 2

首先需要知道这个过程中能量是守恒的~

在分析重力做功的时候可以把链条分为L-a(段1)和a(段2)两段来分析~
段1重心下降了(L-a)sinα/2
段2重心下降了(L-a)sinα
重力对两段做的功：W=(L-a)/L*G*(L-a)sinα/2+a/L*G*(L-a)sinα
能量守恒：1/2*mv^2=W
v=(2W/m)^0.5=(2((L-a)/L*G*(L-a)sinα/2+a/L*G*(L-a)sinα)/m)^0.5=(2((L-a)/L*g*(L-a)sinα/2+a/L*g*(L-a)sinα))^0.5

Answer 3

守恒吧，光滑的斜面，就是不记摩擦，机械能守恒

追问

二问。

追答

抱歉，我上初二，没学过速率

追问

....哦。