Question

已知函数fx=-1/3x^3+a/2x^2-2x(a属于R) 当a=3时，求函数fx的单调区间。 若对于任意x属于[1，+无穷大)...

已知函数fx=-1/3x^3+a/2x^2-2x(a属于R)
当a=3时，求函数fx的单调区间。
若对于任意x属于[1，+无穷大)都有f'x<2(a-1)成立，求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=-1/3x^3+a/2x^2-2x
f'(x)=-x²+ax-2
(1)
当a=3时，
f'(x)=-x²+3x-2=-(x-1)(x-2)
f'(x)>0解得1<x<2
f'(x)<0解得x<1或x>2
∴f(x）单调递增区间为(1,2)
递减区间为(-∞,1),(2,+∞)
(2)
对于任意x属于[1，+无穷大)都有f'x<2(a-1)成立
即-x²+ax-2<2a-2
x²-ax+2a>0恒成立

(x-a/2)²+2a-a²/4>0恒成立
当a/2≤1即a≤2时,
需x=1时，a+1>0,a>-1即可
∴-1<a≤2

当a/2>1即a>2时，
需2a-a²/4>0
a²-8a<0
0<a<8
∴2<a<8

综上，a的取值范围是-1<a<8

Answer 2

f(x)=-1/3x^3+a/2x^2-2xf'(x)=-x²+ax-2(1)当a=3时，f'(x)=-x²+3x-2=-(x-1)(x-2)f'(x)>0解得1<x<2f'(x)<0解得x<1或x>2∴f(x）单调递增区间为(1,2)递减区间为(-∞,1),(2,+∞)(2)对于任意x属于[1，+无穷大)都有f'x<2(a-1)成立即-x²+ax-2<2a-2x²-ax+2a>0恒成立(x-a/2)²+2a-a²/4>0恒成立当a/2≤1即a≤2时,需x=1时，a+1>0,a>-1即可∴-1<a≤2当a/2>1即a>2时，需2a-a²/4>0a²-8a<00<a<8∴2<a<8综上，a的取值范围是-1<a<8