Question

齐次方程组的解的问题

B是矩阵，B=1 2 -2 4 t 3 3 -1 1 AB=0，r(A)=1，求Ax=0的通解。 于是乎，B的列向量是齐次方程的解，是不是可以直接用B的列向量b1=(1,4,3),b2=(2,t,-1),b3=(-2,3,1)中的两个作为基础解系？答案是直接用b1,b3作为基础解系，它说，通解是k1b1+k2b2。这样一来，岂不是不能保证b1,b3是线性无关的？基础解系是要求线性无关吧？

Answer 1

由AB＝0，A有3列
再由
r(A)=1,
所以
AX=0
的基础解系含
3-r(A)
=
2
个向量.
又由AB=0,
B的列向量都是AX=0的解,
其中
b1,b3线性无关
(分量不成比例)
故
b1,b3
是AX=0
的基础解系.
所以方程组的通解为
k1b1+k2b2.
注:
2个向量线性无关的充分必要条件是对应分量不成比例.
假如，一个方程的基础解系为A：(1,1,0,1)和(0,0,1,0)，那B：(1,1,0,1)和(1,1,1,1)算不算这个方程的基础解系呢？
是基础解系.
原因是
A与B等价,
(1,1,1,1)
=
(1,1,0,1)+(0,0,1,0)
秩都是2
(0,0,5,0)
=
5(1,1,1,1)
-
5(1,1,0,1)