Question

此题若让t＝sinx代换如何解？

Answer 1

∫(0,π) √(sinx-sin^3x)dx
=∫(0,π/2) √(sinx-sin^3x)dx+∫(π/2,π) √(sinx-sin^3x)dx
对第一式，令t=sinx，则x=arcsint，dx=1/√(1-t^2)dt
∫(0,π/2) √(sinx-sin^3x)dx
=∫(0,1) √(t-t^3)/√(1-t^2)dt
=∫(0,1) √tdt
=(2/3)*t^(3/2)|(0,1)
=2/3
对第二式，令t=sinx，则x=π-arcsint，dx=-1/√(1-t^2)dt
∫(π/2,π) √(sinx-sin^3x)dx
=∫(1,0) -√(t-t^3)/√(1-t^2)dt
=∫(0,1) √tdt
=2/3
所以原式=2/3+2/3=4/3

追问

第二式x＝arcsint是我没想到的，谢谢！

追答

不客气

Answer 2

一般来说用什么样的式子进行代换不是可以任意选择的，需要考虑被积函数自己的特征
感觉这题不适合直接用t=sinx代换。题目要求还是你自己想试试？
比较好的方法在于根据对称性把这个积分变为0-pi/2上的定积分的两倍，然后把
根号(sinx-(sinx)^3))变为cosx根号sinx
这样cosxdx就是-dsinx
积分就是-4/3(sinx)^(3/2) |0,pi/2

追问

很感谢解答，这种情况对于t＝sinx代换确实不适合，但是我想知道这样代换是否可行呢？

追答

最终还是这么代换的啊，只是一开始先从t=sinx做会很绕，你要看看我做的过程，理解这个过程怎么来的

追问

嗯我看了觉得你的做法比t＝sinx好太多了。。。。。
谢谢啊！

追答

嗯，做题时方法很重要，硬套一个不合适的方法有时候会很伤。