已知关于x的一元二次方程c(a-b)x的平方+b(c-a)+a(b-c)=0有两个相等实数根,求证:1/a+1/c=2/b
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应该是c(a-b)x²+b(c-a)x+a(b-c)=0吧
∵a(b-c)x²+b(c-a)x+c(a-b)=0有相等实根
∴Δ＝[b(c-a)]²-4[a(b-c)][c(a-b)]=0
a²b²+b²c²-2acb^2
-4bca²+4acb²+4a²c²-4abc²=0,
a²b²+b²c²+2acb²-4ac(ab+bc)+4a²c²=0
(ab+bc)²-4ac(ab+bc)+4a²c²=0
即(ab+bc-2ac)²=0
∴ab+bc-2ac=0,
即ab+bc=2ac，
两边同除以abc得：
(1/c)+(1/a)=2/b,
即1/a,1/b,1/c成等差数列
∵a(b-c)x²+b(c-a)x+c(a-b)=0有相等实根
∴Δ＝[b(c-a)]²-4[a(b-c)][c(a-b)]=0
a²b²+b²c²-2acb^2
-4bca²+4acb²+4a²c²-4abc²=0,
a²b²+b²c²+2acb²-4ac(ab+bc)+4a²c²=0
(ab+bc)²-4ac(ab+bc)+4a²c²=0
即(ab+bc-2ac)²=0
∴ab+bc-2ac=0,
即ab+bc=2ac，
两边同除以abc得：
(1/c)+(1/a)=2/b,
即1/a,1/b,1/c成等差数列
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