Question

如图，已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACE交BD于点D.求证：AD平分∠CAF.

Answer 1

证明：过点D分别作DG垂直AF于G
,DH垂直AC于
,DM垂直BE于M
所以角DGB=角DGA=90度
角DHA=角DHC=90度
角DMB=角DMC=90度
所以角DGB=角DMB=90度
角DHC=角DMC=90度
三角形DGA和三角形DHA是直角三角形
因为BD平分角ABC
所以角DBG=角DBM
因为BD=BD
所以三角形BDG和三角形BDM全等（AAS)
所以DG=DM
同理可证：DH=DM
所以DG=DH
因为AD=AD
所以直角三角形DAG和直角三角形DAH全等（HL)
所以角DAG=角DAH
所以AD平分角CAF

Answer 2

证明:作DM⊥BF于F,DN⊥AC于N,DP⊥BE于P.
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACE.(已知)
∴DM=DP,DN=DP.(
角平分线的性质
)
则:DM=DN.(
等量代换
)
∴AD平∠CAF.(到角两边距离相等的点在这个
角的平分线
上)
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