Question

secx的三次方的不定积分是什么?

Answer 1

具体回答如下：

∫(secx)^3dx

=∫secx(secx)^2dx

=∫secxdtanx

=secxtanx-∫tanxdsecx

=secxtanx-∫(tanx)^2secxdx

=secxtanx-∫((secx)^2-1)secxdx

=secxtanx-∫(secx)^3dx+∫secxdx

=secxtanx+ln│secx+tanx│--∫(secx)^3dx

所以∫(secx)^3dx=1/2（secxtanx+ln│secx+tanx│）

不定积分：

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

Answer 2

要求 sec^3(x) 的不定积分，我们可以使用换元法来解决。首先，我们进行以下的换元：
令 u = sec(x) + tan(x)，则 du = (sec(x)tan(x) + sec^2(x)) dx
现在，我们可以将 sec^3(x) 表示为 u 的函数，即 sec^3(x) = (sec(x)tan(x) + sec^2(x)) sec(x) = u sec(x)
将这些替换回原始的积分表达式中，我们得到：
∫ sec^3(x) dx = ∫ u sec(x) dx
现在，我们可以将 du 和 dx 的关系带入积分中，得到：
∫ sec^3(x) dx = ∫ u sec(x) dx = ∫ u du
对于 ∫ u du，我们可以直接求解，得到：
∫ u du = (1/2) u^2 + C
将 u = sec(x) + tan(x) 代回，我们最终得到：
∫ sec^3(x) dx = (1/2) (sec(x) + tan(x))^2 + C
其中，C 是积分常数。所以，sec^3(x) 的不定积分是 (1/2) (sec(x) + tan(x))^2 + C。