Question

2的n次方分之一是收敛还是发散？

Answer 1

f(n)=(1/2)^n是收敛函数，因为当n趋近于∞时，f(n)趋近于0。

有极限（极限不为无穷）就是收敛函数，没有极限（极限为无穷）就是发散函数。

例如：f（x）＝1/x，当x趋于无穷是极限为0，所以收敛。f（x）＝x，当x趋于无穷是极限为无穷，即没有极限，所以发散。

数学名词：

收敛数列。

令｛｝为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N，使得对于任意n>N,有｜－A|<b恒成立，就称数列｛｝收敛于A（极限为A），即数列｛｝为收敛数列。

函数收敛。

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有｜f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。