Question

f(x)满足方程xf''(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x)

设函数f(x)满足xf''(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x)，
若f(0)=f'(0)=0，求最小常数k，使得x>=0时都有f(x)<=kx^2。

此题出自华中科技大学出版社出版的《微积分学同步辅导》第4章 课后习题 B部分的11题的第二问，苦逼考研党，此题难倒自习室学霸级人物，求大神解出答案。

Answer 1

这个是非线性方程，应该不存在解析解，可以考虑设f(x)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n + ....
求得an的表达式，然后再设法求k的值
由于f(0)=f'(0)=0
设f'(x)=ax+x^2g(x)
那么f''(x)=a+2xg(x)+x^2g'(x)
代入原方程得
ax+2x^2g(x)+x^3g'(x) + 3x(a^2x^2+2ax^3g(x)+x^4g(x)^2)=1-e^(-x)
整理的
ax + 2g(x)x^2+O(x^3) = x-x^2/2 + O(x^3)
所以a=1
xf''(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x)
所以xf''(x) <= 1-e^(-x)
所以1+2xg(x)+x^2g'(x) <= (1-e^(-x))/x
2xg(x)+x^2g'(x) <= (1-e^(-x))/x-1
在[0,x]上积分得
x^2g(x) <= ∫ [(1-e^(-x))/x -1] dx <= 0
所以g(x) <= 0
所以f'(x) <= x
从而f(x) <= 1/2x^2
k的最小值为1/2