Question

公差不为0的等差数列{an｝中，已知前n项的和为Sn,若S8=S5+45，且a4，a7，a12成等比数列 求数列{an}的通项

当bn=1/Sn时，求{bn}的前n项和Tn

Answer 1

S8=S5+a6+a7+a8
因为a6+a8=2a7
所以，S8=S5+3a7
已知S8=S5+45
所以，a7=15
又已知a4，a7，a12成等比数列，则：a4*a12=a7^2=225
===> (a7-3d)*(a7+5d)=225
===> (15-3d)*(15+5d)=225
===> 225+30d-15d^2=225
===> 15d^2-30d=0
===> d=2【已知d≠0】
所以，a7=a1+6d=15
那么，a1=3
所以，等差数列的通项为：an=a1+(n-1)d=3+(n-1)*2=2n+1.

所以，Sn=na1+n(n-1)d/2=3n+n^2-n=n^2+2n
则，bn=1/Sn=1/(n^2+2n)=1/[n*(n+2)]=(1/2)*[(1/n)-(1/n+2)]
所以，Tn=(1/2)*[1-(1/3)+(1/2)-(1/4)+(1/3)-(1/5)+……+(1/n)-(1/n+2)]
=(1/2)*[1+(1/2)-(1/n+1)-(1/n+2)]
=(3n^2+7n+3)/(4n^2+12n+8)

Answer 2

解 S8=S5+45
S8-S5=45
a6+a7+a8=45
因为在公差不为0的等差数列{an｝中
所以a6+a8=2a7
3a7=45
a7=15
a4，a7，a12成等比数列
所以有a7^2=a4*a12
a4*a12=225
（15-3d）（15+5d）=225
整理得 d^2=2d ， d≠0
所以 d=2
a7=15，d=2 所以an=2n+1，n属于N+

追问

那Tn呢？

追答

Tn是啥？？

追问

等下似乎没打出来。。
当bn=1/Sn时，求{bn}的前n项和Tn

追答

解 an=2n+1，n属于N+ 由等差数列求和公式得
Sn=（a1+an）n/2=n（n+2）
bn=1/sn=1/n（n+2）
Tn=1/3*1+1/2*4+1/3*5+............+1/n（n+2）
Tn=1/2（1-1/3）+1/2（1/2-1/4）+1/2（1/3-1/5）+.............+1/2（1/n-1/（n+2））
2Tn=（1+1/2-1/（n+1）-1/（n+2））
2Tn=（3n^2+5n）/{2（n+1）（n+2）}
Tn=（3n^2+5n）/{4（n+1）（n+2）}