Question

已知椭圆x^2+y^2/b^2=1（b∈（0,1））的左焦点为F，左右顶点分别是A、B，上顶点为C

已知椭圆x^2+y^2/b^2=1（b∈（0,1））的左焦点为F，左右顶点分别是A、B，上顶点为C。现过三点F、B、C作圆P，若圆心P在直线X+Y=0的上方。求1：离心率e的取值范围。2：连接AC，探究直线AC与圆P是否相切。

Answer 1

解：左焦点F(-c，0)，左顶点A(-a，0)，右顶点C(a，0)，上顶点B(0，b)；
FC的中点坐标为((a-c)/2，0)，故FC的中垂线方程为x=(a-c)/2...............(1)；
BC所在直线的斜率K=-b/a，故BC的中垂线的斜率k₁=-1/k=a/b；BC的中点的坐标为(a/2，b/2)；
故BC的中垂线方程为y=(a/b)(x-a/2)+b/2，即y-b/2=(a/b)(x-a/2).............(2)；
将(1)代入(2)式得y=(a/b)[(a-c)/2-a/2]+b/2=-ac/2b+b/2=(b²-ac)/2b；故得园心的横坐标m=(a-c)/2；
园心的纵坐标n=(b²-ac)/2b；
圆P在直线x+y=0的上方,则有m+n>0
当m+n=(a-c)/2+(b²-ac)/2b=[(a-c)b+(b²-ac)]/2b>0，即有：
(a-c)b+(b²-ac)>0，故得b²+(a-c)b-ac>0............(3)
其中a>0，c>0，a-c>0；(3)的左边是关于b的二次函数，由于其判别式△=(a-c)²+4ac=(a+c)²>0，
故得(b-c)(b+a)>0,得到b>c；即有b²=a²-c²>c²；也就是有a²>2c²，于是得e²<1/2，
即0<e<√2/2，这就是e的取值范围。