Question

求最大无关组，用初等变幻把矩阵化简化行阶梯形矩阵，|1 0 -2 -1 0| |0 1 3 2 1| |0 0 1 1 1| |0 0 0 0 0

求向量的极大无关组，用初等变幻把矩阵化简化行阶梯形矩阵，
|1 0 -2 -1 0|
|0 1 3 2 1|
|0 0 1 1 1|
|0 0 0 0 0|经过哪些步骤化成下面的式子。|1 0 0 1 2|
|0 1 0 -1 -2|
|0 0 1 1 1|
|0 0 0 0 0|
步骤详细一点，遇到这类问题该怎么做？
如果我写成这样，算错的吗？
|1 0 0 -2 -1|
|0 1 0 3 2|
|0 0 1 1 1|
|0 0 0 0 0|

Answer 1

求向量的极大无关组只能用初等行变换，你的写法当然是错的
1 0 -2 -1 0
0 1 3 2 1
0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 第1行加上第3行*2，第2行减去第3行*3
~
1 0 0 1 2
0 1 0 -1 -2
0 0 1 1 1
0 0 0 0 0
这样就不能再继续化简了，得到的就是行阶梯矩阵
所以极大无关组就是向量1，向量2，向量3

Answer 2

这样的问题求解时，只能做初等行变换。
第一步，以a11元素为基准做初等行变换，目的是将除a11以外的第一列元素变换为0；
第二步，以第一步变换后得到的矩阵a22元素为基准，做初等行变换，目的是将第二列a22下方的元素变换为0；
。。。。。。
以此类推，直到无法进行为止。

需要注意的是，当基准元素a11、a22等为0时，可以交换行，是得基准元素不为0，继续计算。

希望对你有帮助！

追问

你说的可以交换行，是怎样的？举个例子，还有你前面提到的，直到无法进行，又是一个怎样的概念？

追答

交换行就是类似下面的例子：
1 -6 -7 5 9
0 0 3 8 0
0 2 0 4 1
0 1 5 2 1
本来是要以元素a22作为基准，通过初等行变换，将a22下方的元素消为0的，但是此时a22=0。无法继续进行，那么可以交换第二行和第三行，即得
1 -6 -7 5 9
0 2 0 4 1
0 0 3 8 0
0 1 5 2 1
用交换之后的结果继续按照原方法计算下去。（p.s.交换第二行和第四行也是可以的。）

我说的无法继续进行的意思就是，无法通过初等行变换，将基准元素下方的元素变换为0.