Question

若α∈[0，π]，β∈[-π/4，π/4]，λ∈R且（α-π/2)^3-cosα-2λ=0，4β^3+sinβcosβ+λ=0

则cos(α/2+β)=
要解答过程

Answer 1

α-π/2)^3-cosα-2λ=0整理成
（π/2-α)^3+sin(π/2-α)+2λ=0
4β^3+sinβcosβ+λ=0整理成
（2β)^3+sin2β+2λ=0，可看出x=π/2-α,x=2β都是x^3+sinx+2λ=0的解
因为α∈[0，π]，β∈[-π/4，π/4]，所以π/2-α，2β的范围都是[-π/2，π/2]
又方程x^3+sinx+2λ=0在[-π/2，π/2]只有一解，证明如下：
设f(x)=x^3+sinx+2λ,x∈[-π/2，π/2],f'(x)=3x^2+cosx,则f'(x)>0,所以f(x)在[-π/2，π/2]上单调递增，所以π/2-α=2β，写成π/4=α/2+β，所以cos(α/2+β)=二分之根号二

追问

为何方程只有一解

Answer 2

想问下这是什么水平的题
我做出来答案是二分之根号二...如果是多解的话就无奈了

追问

说下过程吧

追答

这是什么水平的题啊？？？