Question

求助离散数学的证明题。。。

设<G，*>为群,G中元素a的阶为k,那么,an = e当且仅当k整除n.
求详细证明过程。。。

Answer 1

若a^n=e，∵a的阶为k，∴a^k=e
∴n≥k，不妨设n=mk+b，若b≠0，
则0<b<k，而a^n=a^(mk)·a^b=(a^k)^m·a^b
即e=e·a^b => a^b=e，而k为a的阶，∴k≤b
这与b<k矛盾。∴b=0，即n=mk，即k|n
反之若k|n，可设n=mk，则显然有
a^n=a^(mk)=(a^k)^m=e^m=e。