Question

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，D,E分别为AB，BC的中点，向量AB·向量CD=向量BC·向量AE

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，D,E分别为AB，BC的中点，向量AB·向量CD=向量BC·向量AE（1）求证：2b²=a²＋c²（2）求角B的范围及sinB+cosB的范围

Answer 1

1
CD=BD-BC=-AB/2-BC
AE=AB+BE=AB+BC/2
AB·CD=AB·(-AB/2-BC)=-|AB|^2-AB·BC
BC·AE=BC·(AB+BC/2)=AB·BC+|BC|^2/2
即：-|AB|^2-AB·BC=AB·BC+|BC|^2/2
即：a^/2+c^2/2=-2AB·BC=-2|AB|*|BC|*cos(π-B)=2ac
即：(a^2+c^2)/(4ac)=cosB
而：cosB=(a^2+c^2-b2)/(2ac)
故：(a^2+c^2)/(4ac)=(a^2+c^2-b2)/(2ac)
即：2(a^2+c^2-b2)=a^2+c^2，即：a^2+c^2=2b^2
2
cosB=(a^2+c^2)/(4ac)≥2ac/(4ac)=1/2
即：B∈(0,π/3]
sinB+cosB=√2sin(B+π/4)
B+π/4∈(π/4,7π/12]，故：sin(B+π/4)∈(√2/2,1]
即：sinB+cosB∈(1,√2]