如何证明一个数为无理数?
证明根号2是无理数：若根号2是有理数,则设它等于m/n(m、n为不为零的整回数,m、n互质)，(m/n)^2=根号2 ^2 =2， m^2/n^2=2，m^2=2*n^2，即 m^2是偶数,设m=2k，m^2=4k^2=2n^2，n^2=2k^2，即n是偶数，所以根号2不是有理数,它是无理数。
众所周知，有理数集内的加法、减法、乘法、除法，这些有理运算能够保证封闭性(即原数集的任意数经过运算后，仍在原数集内)，但是对于开方运算就不满足封闭性，于是就要引入一种新的数——无理数，即不能写成两个互质整数之比的数。
无理数起源于毕达哥拉斯学派.毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，这里的数指的是可以写成两个整数之比的数，即有理数。据说毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现正方形的一边和对角线不可公约，换句话说，正方形的对角线与边长之比根号2不是有理数，这个发现导致他后来被处以极刑。
证明根号2是无理数：
证明：若根号2是有理数,则设它等于m/n（m、n为不为零的整数,m、n互质）
所以 （m/n）^2=根号2 ^2 =2
所以 m^2/n^2=2
所以 m^2=2*n^2
所以 m^2是偶数,设m=2k（k是整数）
所以 m^2=4k^2=2n^2
所以 n^2=2k^2
所以 n是偶数
因为 m、n互质
所以 矛盾
所以 根号2不是有理数，它是无理数
常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。
可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.141592653589793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。
必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证明都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。
