Question

点P为等边△ABC的内一点,∠BPC=150°,△BPP'是等边三角形,求证PC^2+PB^2=PA^@

(1)如图一所示，点P为等边△ABC的内一点,∠BPC=150°,△BPP'是等边三角形,求证PC^2+PB^2=PA^2
(2)如图二所示，点P为等边△ABC外一点，∠BPC=30°，问（1）中的结论是否成立？若成立，说明理由，若不成立，所处PC、PB、PA的数量关系并加以证明。

Answer 1

因为 BP'=BP
BA=BC
∠ABP'=∠CBP
所以 △ABP'≌△CBP
PC=P'A,∠BPC＝∠BP'A=150°
所以 ∠AP'P=150°-60°=90°
AP^2=AP'^2+PP'2
因为PP'=BP,P'A=PC
所以证得 PC^2+PB^2=PA^2

先选我我就做第二题

追问

你做了我再给你

追答

速度给分

（2）成立
将△ABP绕点C逆时针旋转60°，得△CBP’连PP’
由题意得，CP=CP’ ∠PCP’=60°
∴△CPP’为等边三角形
∴∠CPP’=60°
∴∠∵∠BPC=30°
BPP’=90°
在Rt△BPP’中
BP²=PB²+PP’²
∵△CPP’≌△CBP
∴PB=PA
∵△CPP’为等边三角形
∴PP’=PC
∴PA²=PB²+PC²

Answer 2

证明：
∵ BC=AB , BP'=BP， ∠ABP'=∠CBP=60°-∠ABP
∴ △BPC ≌△BP'A
∠BPC=∠BP'A=150°
∵△BPP'是等边三角形，∠BP‘P=60
∴∠AP'P=90°
AP'^2+PP'^2=PA^2 ，
又因AP'=CP, PP'=BP
∴ PC^2+PB^2=PA^2

2)