Question

初中数学难题（必须用初中知识做）

用描点法画出x²+3y²=4（x≠±1）的图像。点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且P点在x²+3y²=4（x≠±1）的图像上，设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，则存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，求点P的坐标。

Answer 1

【分析】

设点P的坐标为（x0，y0），则根据函数图象上点的坐标特征知x0²+3y0²=4．首先，根据点A的坐标求得点B的坐标为（1，-1）；然后，利用三角形的面积公式S=1/2absinC列出等式1/2|PA|•|PB|sin∠APB=1/2|PM|•|PN|sin∠MPN．即|PA|/|PM|=|PN|/|PB|；再根据两点间的距离公式求得|x0+1|/|3-x0|=|3-x0|/|x0-1|，即(3-x0)²=|x0²-1|，解得x0=5/3．易求y0的值。

【解答】

解：

∵点B与点A（-1，1）关于原点O对称

∴点B的坐标为（1，-1）
若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等

设点P的坐标为（x0，y0）
则：

1/2|PA|•|PB|sin∠APB

=1/2|PM|•|PN|sin∠MPN

∵sin∠APB=sin∠MPN
∴|PA|/|PM|=|PN|/|PB|

∴|x0+1|/|3-x0|=|3-x0|/|x0-1|    

即:

(3-x0)²=|x0²-1|

解得：

x0=5/3

∵点P在x2+3y2=4（x≠±1）的图象上
∴x02+3y02=4
∴y0=±√33/9

∴存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等

此时点P的坐标为（5/3，±√33/9）。

Answer 2

解：（1）将点A、B的坐标代入y=kx+b并计算得k=-2，b=4，
∴解析式为：y=-2x+4；
（2）设点C关于点O的对称点为C'，连接PC'、DC'，则PC=PC'，
∴PC+PD=PC'+PD≥C'D，即C'、P、D共线时，PC+PD的最小值是C'D，
连接CD，在Rt△DCC'中，
C'D=，
易得点P坐标为（0，1）。

发现相似题
与“一次函数y=kx+b的图像与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）。（1）..”考查相似的试题有：

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相关考点及知识拓展
求一次函数的解析式及一次函数的应用
1、待定系数法求一次函数的解析式：
（1）定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
（2）用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
第四步（写）：写出该函数的解析式。
2、一次函数的应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
注：（1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
（2）注意自变量的取值范围。
轴对称
1、轴对称的定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴。
2、轴对称图形的定义：把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形关就叫做轴对称图形，这条直线是它的对称轴。
3、轴对称的性质：
（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
（2）对应线段相等，对应角相等；
（3）关于某直线对称的两个图形是全等图形。
4、轴对称的判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。