Question

x y满足x+y=1则Z=(x+1/x)(y+1/y)的最小值是多少？

Answer 1

x、y 都是正数吧？用均值定理及单调性：
由 1＝x＋y≥2√(xy) 得
① √(xy)≤1/2，
② 1/√(xy)≥2，
所以 (x＋1/x)(y＋1/y)
＝xy＋y/x＋x/y＋1/xy
＝[1/√(xy) － √(xy)]²＋(y/x＋x/y)＋2
≥(2－1/2)²＋2＋2＝25/4，
当且仅当 x＝y＝1/2 时，
所求最小值为 25/4。

Answer 2

直接用柯西不等式，简单快捷

答案如图所示，有任何疑惑，欢迎追问

Answer 3

z＝（x+1/x）（y+1/y）＝（x+1/x）[1-x/（1-x）]＝（x²+1）/x[（1-2x）/（1-x）]＝（x²+1）（1-2x）/x（1-x）
手机没电了，以后再补充吧。