Question

f(x)=(e^x)(ax^2+3),其中a为实数，若函数为[1，2]上的单调函数，求a的范围。

http://zhidao.baidu.com/question/567942124?quesup2&oldq=1

Answer 1

f'(x)=(ax²+2ax+3)*e^x，因为 e^x>0，若要 f(x) 在区间 [1,2] 上单调，须 |ax²+2ax+3|≥0；
当 a=0 时，函数 g(x)=ax²+2ax+3=3>0，f'(x)>0，满足 f(x) 单调性要求；
g(x)=a(x+1)²+(3-a) 的极值点 x=-1 在给定区间 [1,2] 的左侧，因此
当 a>0 时，要求 a*(1+1)²+(3-a)≥0 ，解得 a≥-1；对 a 两要求综合得 a>0；
或 a*(2+1)²+(3-a)≤0，解得 a≤-3/8；对 a 两要求矛盾，此情况下无解；
当 a<0 时，要求 a*(2+1)²+(3-a)≥0，解得 a≥-3/8；对 a 两要综合得 -3/8≤a<0；
或 a*(1+1)²+(3-a)≤0，解得 a≤-1；对 a 两要求综合得，a≤-1；
综合以上分析可知，实数 a 的取值范围是 a≤-1，或 a≥-3/8；即 a∈(-∞,-1]∪[-3/8,+∞)；

追问

既然如此，那就可以直接解 |ax²+2ax+3|>=0这个不等式了吧？
不等式等价于 ax^2+2ax+3>=0 或 ax^2+2ax+3=-3/(x²+2x) 或 a<=-3/(x²+2x)
Min [-3/(x²+2x)]=-1，Max [-3/(x²+2x)]=-3/8
故a∈(-∞,-1]∪[-3/8,+∞)

追答

实际上也就等同于解一元二次不等式，只是 a 又是大于又是小于，如不细分析不易理解为何取大于最大值或小于最小值；