Question

f(x)=∫{0,1} t|x^2−t^2 |dt，求导数f'(x)

问题一：能不能把f(x)写成∫{0,1} t|x^2−t^2 |dt=-1/2 ∫{0,1} |x^2−t^2 |d(x^2-t^2)，令u=x^2-t^2，然后f(x)=1/2 ∫{x^2-1,x^2} |u | du
这样写是哪里出错了？
问题二：为什么只讨论x>0的情况，忽略x<0的情况？即使f(x)中讨论的是x^2,讨论x>0,x<0都一样，但最后写导数的分段函数时为什么也忽略了x<0呢？

Answer 1

如图所示：

其实这个x的取值范围已经被t限制了。

当x<0的时候，x^2>0，也是要依着t的范围内变化。

Answer 2

题目中限定了t的取值范围为[0,1]，因此求f（x）需要考虑x的定义域及其与t取值的关系
你的问题二考虑出发点是对的，其实可以将x取值细分为四个区间
-∞，-1；-1,0；0,1；1，+∞
但在去绝对值的时候要比较的是x^2与t^2的关系，上述四个区间等效为两个:
0,1;1,+∞

所以结果分两种情况考虑
当x^2>1时，积分等于t(x^2-t^2)在（0，1）上的积分，1/2x^2-1/3
当0<=x^2<=1时，积分结果如同fin3574答主的结果。
最后得到f（x）的分段函数

然后再求解导数，要特别注意x=±1能否取得导数的情况

关于问题1，你的思路是对的，但是这样处理后求解变得很难。