Question

设m∈n+,已知函数f(x)=(2m-m^2)x^2m^2+3m-4在(0,+∞)上是增函数

设g(x)=[f(x)^2+λ^2/f(x) 【常数λ≠0】，试讨论g(x)在(-∞,0)上的单调性，并求g(x)在区间（-∞，0）的最值

Answer 1

若f(x)在(0,+∞)上是增函数，在x的系数必然大于0，所以m=1,f(x)=x^4-1，且f(x)在（-∞，0）上为减函数，值域（-1，+∞）。另t=f(x)，则g(t)=t^2+λ^2/t，g'(t)=2t-λ^2/t^2=(2t^3-λ^2)/(t^2)(t不等于0)，可看出g(t)在t上先减后增（在t=0即x=-1处断开），t为减函数，所以在x上先增后减。另g'(t)=0，得t=(t^2/2)^1/3，由此算出x=x0，即g(x)的增区间是（-∞，-1）和（-1，x0）（注意x不能等于-1，此时g(x)无意义），减区间是(x0，0)，在x0出取极大值，极大值为g(x0)。
或直接用不等式求最值。