Question

两个3位数相乘(个位数与十位数和为100)哪两个数相乘积最大？

Answer 1

设两个3位数分别为 $a$ 和 $b$，其中 $a$ 的个位数是 $x$，十位数是 $100 - x$，因为个位数和十位数和为 $100$。类似地， $b$ 的个位数是 $100 - x$，十位数是 $y$。因此，$a$ 和 $b$ 可以表示为：

$$
\begin{aligned}
a &= (100 - x) \times 10 + x = 1000 - 9x \
b &= (100 - y) \times 10 + (100 - x - y) = 1000 - 11y - x
\end{aligned}
$$

则 $a \times b = (1000 - 9x) \times (1000 - 11y - x)$。为了求出相乘积最大的两个数，我们需要求出这个函数的最大值。因此，我们需要对该函数求导数并寻找其最大值的位置。

对 $a \times b$ 对 $x$ 求导数得到：

$$
\frac{d (a \times b)}{dx} = - (1000 - 11y - 2x) \times 9
$$

将其置为 $0$ 可得：

$$
1000 - 11y - 2x = 0
$$

同样地，对 $a \times b$ 对 $y$ 求导数得到：

$$
\frac{d (a \times b)}{dy} = - (1000 - 9x - 2y) \times 11
$$

将其置为 $0$ 可得：

$$
1000 - 9x - 2y = 0
$$

将上述两个方程联立消去 $x$ 可得：

$$
y = \frac{1000 - 2 \times 45}{13} = 77.31
$$

由于 $y$ 是一个整数，因此在 $y = 77$ 时充分体现相乘积最大。将 $y = 77$ 代入上述两个方程中并解出 $x$ 可得：

$$
x = 23
$$

因此，在两个 $3$ 位数中，个位数为 $3$，十位数为 $9$ 和个位数为 $7$，十位数为 $7$ 的积最大，即：

$$
($397) \times ($793) = 315121
$$