Question

微分方程中的伯努利方程。。。

如何确定这是一个伯努利方程？求解答谢谢！

Answer 1

解：∵(x²y²+xy)y'=1 ==>dx/dy=xy+x²y².........(1)
∴方程(1)是关于自变量y的伯努利方程

于是，设z=1/x，则dx/dy=(-1/z²)dz/dy
代入方程(1)，化简得dz/dy+yz=-y²..........(2)
应用常数变易法，可求得方程(2)的通解是
z=Ce^(-y²/2)+y-e^(-y²/2)[∫e^(y²/2)dy] (C是任意常数)
故原方程的通解是1/x=Ce^(-y²/2)+y-e^(-y²/2)[∫e^(y²/2)dy]。

Answer 2

dy/dx+yP(x)=Q(x)y^n (n不等于0,1)
这题把y'除到右边,变成dx/dy
即把y看成自变量,那么它就是一个伯努利方程了

Answer 3

解:∵(x²y²+xy)y'=1
==>dx/dy=xy+x²y².........(1)
∴方程(1)是关于自变量y的伯努利方程
于是，设z=1/x，则dx/dy=(-1/z²)dz/dy
代入方程(1)，化简得dz/dy+yz=-y²..........(2)
应用常数变易法，可求得方程(2)的通解是
z=Ce^(-y²/2)+y-e^(-y²/2)[∫e^(y²/2)dy]
(C是任意常数)
故原方程的通解是1/x=Ce^(-y²/2)+y-e^(-y²/2)[∫e^(y²/2)dy]。