Question

矩阵的转置怎么算？

Answer 1

设矩阵a经过初等行变换之后，化为上三角矩阵b，则a等价于b

矩阵a'经过初等列变换之后，可化为下三角矩阵c，则a'等价于c

显然，b的转置矩阵b'=c

因为，转置之后对角线上的元素不变，所以，b和c的对角线元素相等。

因为，三角形行列式的值等于对角线上元素的乘积

又因为，|λi-a|=|λi-b|=对角线上元素的乘积，

|λi-a'|=|λi-c|=对角线上元素的乘积

所以，|λi-a|=|λi-a'|

所以，矩阵a与矩阵a的转置矩阵的特征值相同

化成三角形行列式法：

先把行列式的某一行（列）全部化为 1 ，再利用该行（列）把行列式化为三角形行列式，从而求出它的值，这是因为所求行列式有如下特点：

1、各行元素之和相等； 

2 各列元素除一个以外也相等。

充分利用行列式的特点化简行列式是很重要的。

根据行列式的特点，利用行列式性质把某行（列）化成只含一个非零元素，然后按该行（列）展开。展开一次，行列式降低一阶，对于阶数不高的数字行列式本法有效。