Question

已知函数f（x)=alnx/x+1+b/x，曲线f(x)在点（1,f(x))处的切线方程为x+2y-3=0

证明：当x>0且x≠1时f(x)=lnx/(x-1)

Answer 1

(1)
切线方程变形为 y=(-1/2)x+3/2,
可见斜率k=-1/2, f(1)=1
f(x)=alnx/(x+1)+b/x,
f'(x)=[a(x+1)/x-alnx]/(x+1)^2-b/x^2
已知k=f'(1)=(2a)/4-b=-1/2 即a-2b=-1 (*)
f(1)=b=1
代入(*)得 a=1
∴f(x)=lnx/(x+1)+1/x
(2)
由（1）知f（x）=lnx／(x+1)+1／x
所以f(x)-lnx／(x-1)
= lnx／(x+1)+1／x-lnx／(x-1)
=-2 lnx／﹙x�0�5-1﹚+1／x
=[1／(1-x�0�5)]*[(2lnx-﹙x�0�5-1﹚／x)]

令h(x)=2lnx-﹙x�0�5-1﹚／x(x＞0)，
h′(x)=2/x-[2x�0�5－(x�0�5-1)]／x�0�5=-(x-1)�0�5／x�0�5
所以当x≠1时，h′（x）＜0,所以函数单调递减，而h（1）=0，

当x∈（0，1）时，h（x）＞h（1）=0
此时1／(1-x�0�5)>0,
可得1／﹙1-x�0�5﹚*h(x)＞0；

x∈(1，+∞)时，h(x)＜h（1）=0，
此时1／(1-x�0�5)<0,
可得1／(1-x�0�5)*h(x)＞0

从而当x＞0且x≠1时，
f(x)-[lnx／﹙x-1﹚]＞0
即f(x)＞lnx／﹙x-1﹚