Question

sinx为什么小于x?

Answer 1

不能说sinx小于x，应该是x＞0时，sinx＜x，当x＜0时，sinx＞x。

可以令f（x）=x-sinx，求导得出结论。

也可以画单位圆，设x为角度，则x所对直角边为sinx，所对弧为x，三角形面积为sinx/2，扇形面积为x/2，三角形面积小于扇形面积，由此我们得到sinx＜x。

设：f（x）=x-sinx，sinx小于等于1。

所以可以取x在[0,1]上的导数。

导数=1-cosx,大于等于0。

所以f（x）是增函数。

x=0时,f（x）=0。

所以sinx＜x成立。

Answer 2

这句话是错的，原题估计有另外的已知条件。要sinx≤x，需要已知条件x≥0。

即只有当x≥0时，才有sinx≤x。

令f(x)=sinx-x。

x取任意实数，函数表达式恒有意义，函数定义域为R。

f'(x)=cosx-1

cosx≤1，f'(x)≤0。

函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递减。

f(0)=sin0-0=0-0=0

x≥0时，f(x)≤0

sinx-x≤0

sinx≤x

x<0时，f(x)>0

sinx-x>0

sinx>x

同角三角函数

（1）平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

（2）积的关系：

sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα

Answer 3

对于正实数 x，当 x 处于 0 和 π/2 之间时，sin(x) 的值小于 x。这可以通过几何和代数的角度来解释。
几何解释：我们可以考虑单位圆上的一个角θ，它的弧长等于θ的值，即θ的度量单位是弧度。可以观察到，在单位圆上，sin(θ) 的值就是角θ与 y 轴正方向之间的纵坐标。当θ小于π/2时，即角θ对应的点位于单位圆的第一象限内，那么这个纵坐标就是θ，而θ的弧长恰好等于它的值。而随着θ的增大，这个纵坐标会逐渐减小，不再等于θ。因此，sin(θ) 在 0 和 π/2 之间是小于θ的。
代数解释：我们可以利用泰勒级数展开来证明这一点。sin(x) 的泰勒级数展开式为 sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...。当 x 是一个正实数且趋近于 0 时，我们只保留这个级数展开的第一项 x。所以在小的范围内，sin(x) 可以近似为 x，因此 sin(x) 小于 x。
需要注意的是，这个结论只在给定条件下成立，即对于正实数和在 0 和 π/2 之间的角度。在其他范围，如负实数、大于π/2 的角度等，sin(x) 的行为是不同的。