Question

已知,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC。（1）如图,AE是角平分线,求证:AB=AC+CE；

（2）如图，在（1）的条件下，D是边AB上一点，CD交AE于F，且CF=CE，求证：AD=BD.

Answer 1

证明：
1、过点E作EG⊥AB于G
∵AB＝AC，∠ACB＝90
∴∠B＝45
∵EG⊥AB
∴BE＝EG
∵AE平分∠BAC， EG⊥AB，∠ACB＝90
∴AG＝AC，EG＝CE
∴CE＝BG
∵AB＝AG+BG
∴AB＝AC+CE
2、
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE＝∠CAE
∵CF＝CE
∴∠CFE＝∠CEF
∵∠CFE＝∠CAE+∠ACD，∠CEF＝∠BAE+∠B
∴∠CAE+∠ACD＝∠BAE+∠B
∴∠ACD＝∠B＝45
∴∠BCD＝∠ACB-∠ACD＝45
∴CD平分∠ACB
∴AD＝BD （三线合一）

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Answer 2

①作AB的高EF，
∵EF＝EC｛角平分线上一点到两边的距离相等｝＝BF｛∠B＝45º＝∠BEF｝ ；
且AF＝AC｛Rt△AFE ≌Rt△ACE ｝;
∴AB ＝AF＋BF＝AC＋EC。
②∵∠AFD＝∠CFE｛对顶角｝＝∠CEF｛等边对等角｝；
已知∠CEF与½∠A互余，故∠AFD也与½∠A互余，∠ADF＝90º，
知CD为等腰直角△ACB斜边的中垂线；
∴AD＝BD。

Answer 3

第一问 就是作这条辅助线。由于三角形ACE全等于三角形AFE，所以AC=AF，CE=EF。又因为AC=BC，所以角B为45度，所以BF=EF。 所以AB=AF+FB=AC+EF=AC+CE。

第二问 角AFD=角CFE=角CEF，角CAE=角EAB，因为角EAC+角AEC=90度，所以 角AFD+角EAB=90度，所以角ADC=90度，所以CD是等腰三角形ABC的高，由三线合一，我们可以得到CD也是三角形的中垂线，因此AD=DB。